EuroMillones y sus aspectos probabilisticos. ¡¡¡Mas dificil aun!!!

Resulta que a partir del próximo 7 de mayo habrá cambios importantes por primera vez en muchos años en el juego de EuroMillones, una de las modalidades más populares de las loterías del Estado.
Esta loto se juega a nivel europeo en nueve países de forma simultánea. Es bastante parecida a lotos como la Mega Millions y la Powerball norteamericanas (multi-estado), con ciertas variaciones. La gente juega cantidades millonarias cada semana: entre 75 y 200 millones en total, variando en virtud del tamaño del bote en juego y la promoción que se haga. Es normal que se acumulen astronómicos premios en forma de botes de una semana a otra, debido a lo difícil que resulta acertar el gran premio.
En las novedades descritas por el organismo de Loterías y Apuestas del Estado para los «nuevos EuroMillones» se resume la documentación legal que se puede encontrar en esa misma web en varios PDF. (Agradecimientos por cierto a @knzio por el aviso sobre los cambios.)
La nota informativa, al estilo Los mundos de Yupi describe un «mundo feliz» con «súper botes de 100 millones de euros», dos sorteos semanales, una categoría más de premios, la incorporación de las apuestas múltiples y la venta a través de Internet, que ya existía. Podría considerarse hasta normal: es una nota promocional y ya se sabe que la lotería es un impuesto voluntario por el que se paga a cambio de soñar un rato (o, para algunos, por no saber matemáticas). A diferencia de otros países, en España no existe la obligación de indicar a los jugadores las probabilidades que tienen de ganar los diferentes tipos de premios que se anuncian. Debería.
Eso sí: resulta gracioso que en el colmo de la exaltación del mundiyupismo se explique un cambio en el que se introducen dos bolas más (haciendo que sea más difícil acertar) con expresiones como «esto hará que haya una nueva categoría de aciertos», «habrá más premios semanales» y «habrá botes más grandes»… conceptos que nada tienen que ver unos con otros. Cosas de la promoción, supongo.

Análisis

Hasta ahora los EuroMillones eran una loto de tipo 5/50 + 2/9, es decir: se hacen girar los bombos con 50 bolas por un lado y 9 «estrellas» o bolas extra por otro. Una apuesta consiste en elegir 5 bolas y 2 estrellas; el orden de salida de los números es indiferente. Hay varias categorías de premios, empezando por el premio máximo de acertar las 5 bolas y 2 estrellas (5+2) o bien 5+1, 5+0, 4+2, etcétera, hasta 2+1. El dinero asignado se reparte entre todos los acertantes de cada categoría.
La probabilidad de acertar el premio máximo (5+2) en el EuroMillones tradicional era de más o menos de 1 entre 76 millones. En la Lotería Primitiva de toda la vida, que es de tipo 6/49, la probabilidad de acertar el primer premio (6 bolas) es de ~1 entre 14 millones.
El nuevo sorteo de EuroMillones es del tipo 5/50 + 2/11. En cada apuesta se eligen 5 números entre 50 y 2 «estrellas» entre 11. La siguiente tabla muestra el desarrollo completo de las probabilidades matemáticas de obtener algún premio, mediante un sencillo cálculo combinatorio:

• (5+2) 1 entre 116.531.800
• (5+1) 1 entre 6.473.989
• (5+0) 1 entre 3.236.994
• (4+2) 1 entre 517.919
• (4+1) 1 entre 28.773
• (4+0) 1 entre 14.387
• (3+2) 1 entre 11.771
• (3+1) 1 entre 654
• (3+0) 1 entre 327
• (2+2) 1 entre 821
• (2+1) 1 entre 46
• (2+0) 1 entre 23 [nueva categoría]
• (1+2) 1 entre 156

Con estos datos, la nota informativa no puede calificarse sino de «optimista». Quedémonos con la probabilidad del premio máximo, que redondeada es de aproximadamente 1 entre 117 millones. Habría que jugar a los dos sorteos semanales durante un millón de años (104 millones de apuestas en 52 millones de semanas) para acercarse un poco a entender la magnitud de una probabilidad tan pequeña.
La nota hubiera sido matemáticamente más correcta diciendo «habrá botes más grandes… y va a ser mucho más difícil ganarlos». Pero, claro, algo así no vende y nadie va a hacer una nota informativa desanimando a los potenciales clientes, o sucedería como en el chiste aquel del tipo que quería vender un burro.
Es cierto que en el nuevo juego aumenta el número de apuestas que resultarán premiadas debido a que se añade una nueva categoría de premios. Antes la probabilidad de acertar algún premio era globalmente de 1 entre 24; ahora es de 1 entre 13. (Lo que no aclaran es que esos premios más numerosos/fáciles tendrán importes inferiores a los tradicionales: globalmente el Estado no va a dar ni un euro de más).
Mi anomalía favorita de este nuevo formato del juego es una pequeña curiosidad: resulta que no acertar ningún número pero acertar las dos estrellas (0+2) es mucho más difícil (probabilidad 1 entre 95) que acertar 2+0 o incluso 2+1. Pero, según las reglas, acertar 0+2… no tiene premio. ¡Oh, mundo probabilísticamente cruel!

Otros detalles relevantes

En los nuevos EuroMillones se ha mantenido la cantidad de premios globales: el Estado se queda con el 50 por ciento de lo apostado, repartiéndose el otro 50 por ciento. Y la cantidad que se «reserva» automáticamente de un sorteo a otro para acumular botes –algo que poca gente conoce– ha subido al 8,6 por ciento.
Por otro lado, la cantidad máxima que se puede ganar en caso de que se acumule un súper bote totalmente «desproporcionado» –una norma que existe y que mucha menos gente conoce– se ha fijado en 180 millones de euros como punto de partida. Originalmente no había esa limitación, pero debido a un caso extremo que sucedió en 2006 con un bote acumulado de esas proporciones se propició esta nueva regla. Tiene una definición deliciosa, ya que está diseñada literalmente para no acumular «premios de importes más elevados de lo que socialmente puede considerarse razonable».
Teniendo en cuenta que el Estado reparte la misma cantidad que antes y se queda al estilo de «la banca» también lo mismo, lo que puede «esperar ganar» un jugador en los nuevos EuroMillones es exactamente lo mismo. Simplemente sucede que el reparto es un poco diferente.
El principal cambio respecto a todo esto es un retoque introducido en los porcentajes de premios que arbitrariamente se asignan a cada una de las 13 categorías ganadoras, que afectan únicamente a cuánto se puede esperar ganar en ellas. Los cálculos muestran algo curioso: hasta ahora el 20% de la recaudación se destinaba al gran premio de primera categoría, e iba bajando progresivamente hasta volver a subir al 11 y 25% para las dos categorías inferiores. Ahora el efecto es más extremo todavía: el 32% de lo recaudado va a la primera categoría, con el 6,5%, 17% y 18% destinado a las tres inferiores. Los premios intermedios reciben cantidades ridículas, como el 0,5% de la recaudación (lo cual es de suponer que provocará más de una pequeña gran decepción en el futuro).
Los EuroMillones no quedan pues exentos de cierta ironía cósmica: en el nuevo formato de sorteo, tal y como dicen inequívocamente los números, es mucho más difícil acertar el gran premio, y aunque la cantidad total que se reparte globalmente es la misma, los «nuevos ricos» recibirán mucho más y la masa de «últimos pobres» recibirán más o menos lo mismo pero también serán muchos más, por lo que tocarán a menos.
Como en la vida misma.